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叶厚:费尔马大定理

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费尔马。

数学家们意识到那个貌似简单的论题可能要耗掉他们一生的宝贵时光而毫无进展。数学不像工程,每天辛勤工作就有收获。对于敢冲击世界难题的人,除了需要高超的技能、有效的工具、坚强的意志、超人的想像力和智慧,还要企盼命运之神的垂青。

1. Pythagoras Theorem

这要从公元前六世纪古希腊的毕达哥拉斯讲起。

那时候的天空比现在的洁净,海水比现在的蓝。年轻的毕达哥拉斯周游列国,据说他往西到过不列颠,往东到过印度。到印度恐怕只是传说。他是孜孜不倦的学生,在世界各地学习各种技术,比如巴比伦人交易中用的算术,埃及人测量大地的方法。他有个奇异的信念,就是这些琐碎复杂的技术后面有个永恒的无处不在的力量。他把它叫成“哲学”。

二十年之后他扬帆回到家乡。这是爱琴海中的一个小岛–萨莫斯。他计划成立一个哲学学校,但没能实现。博学的毕达哥拉斯被委以重任,致使他公务繁忙。他随即离开萨莫斯,到遥远的意大利南部的克罗顿。当时那里是希腊领地,当地最富有、最有声望的米罗,是大力神Hercules式的人物,12次奥林匹克金牌获得者。毕达哥拉斯与之交往甚厚,在米罗的帮助下他成立了一个类似教会的秘密组织,“毕达哥拉斯兄弟会”。兄弟会坚信数学是打开这个世界的密匙;他们研习并分享世界的秘密– 这里包含他们发现的自然数的规律,音乐里的和弦,和几何学。兄弟会发展到六百多人,成为当地的一股政治力量。盛极而衰,他们逐渐被当地人当成异路人,毕达哥拉斯兄弟会会所在暴乱中被焚烧。未有明确记载毕达哥拉斯本人被烧死或出逃;但四散逃走的成员均受到压迫追捕,从积极的意义来讲,这促进了他们所掌握的数学知识的传播。

毕达哥拉斯最有名的是“毕达哥拉斯定理”,就是咱们通常说的“勾股定理”,断言直角三角形的长边的平方等于两个短边的平方和。之所以在中国叫“勾股定理”,是因为《周髀算经》里周公和商高的一句对话,“勾三股四玄五”。这是勾股定理的一个特例,要比毕达哥拉斯早500年。不过毕达哥拉斯重要的贡献是他的方法论:对发现的规律提出逻辑证明。他证明了勾股定理对所有直角三角形都成立。800年后,咱们三国时代的赵爽在《周髀算经注》里也给出了类似的证明。

毕达哥拉斯对自然数(1,2,3…)有一种近似图腾一样的崇拜。他仔细研究那些边长是自然数的直角三角形;证明了这样的三角形有无穷多个。寻求方程的自然数解有一个通用的名称,叫“丢番图方程”。丢番图(Diophatus)是公元250左右的希腊数学家,他整理了那时所知道的自然数解方程,写成十三集《算术原理》。这些书藏放在亚利山得里亚图书馆,当年世界上最庞大和完备的图书馆。在后来的岁月里,它经历了埃及艳后克里奥帕特拉和罗马凯撒的战乱,漫长的中世纪里基督徒和伊斯兰教徒的洗劫。到了文艺复兴这十三集《算术原理》只有六集传了下来。

2. Fermat’s Last Theorem

费尔马生于1601年的法国,文艺复兴的中期。他的父亲是成功的皮革商,费尔马长大后的正式职业是律师,后来成为当地司法大员。据说他升官升得快的原因之一是那时瘟疫流行,在位的老人们相继病死。费尔马在业余时间里醉心研究数学,有一次太投入了没及时报到,以至于到处传言“费尔马已病死”。虽然他被称作“业余数学王子”,他在数学分析、数论、几何均有重要建树,超过同时代的专职数学家。1934年发现了牛顿的一篇手稿,提及他的微积分发明起源于费尔马的切线法。

费尔马很喜欢自己的业余头衔。他研究数学纯粹源于强烈的好奇心和自娱自乐的本性。每当他苦思冥想解决了某个问题时,他不是发表文章阐述他的理论,而是挑战数学家朋友。这些朋友对他的提问常常是百思不得其解,而费尔马对这种捉弄似乎很开心。笛卡尔(就是发明解析几何的)给他的外号是“吹牛大王”,同时代英国数学家约翰-瓦利士则称之“那个该死的法国佬”。

在研读丢番图《算术原理》第二集的时候,他把毕达哥拉斯定理里方程稍微做了点变化,用N次方替代平方:有没有3个自然数,其中一个的N次方等于另两个N次方的和?这就是困惑了人类几百年之久的费尔马大定理了。他在书页上写到:“当N大于2时这是不可能的。于此,我确信已发现了一种美妙的证法 ,可惜这里空白的地方太小,写不下”。到底他有没有发现“美妙的证法”呢?这是永远的谜了,据说一百年后欧拉还派人到费尔马故居去翻了一通,希望能找到他可能遗留的手稿。

数学上“定理”一般指已经证明了的结论,既然费尔马的这个断言没严格证明,怎么能叫成“定理”呢?是这样的。费尔马的儿子花了五年世间把老爹宣称证明过的48个命题整理成定理集,其中的每个费尔马都做了寥寥几笔的记录。他人慢慢一个一个地给出完备的证明。最后没证出来的就是“费尔马最后的定理”(Fermat’s Last Theorem),中文翻译出现了偏差,变成“费尔马大定理”了。

3. Sophie Germain

一百年后十八世纪,欧拉第一个对此问题有所突破;他用费尔马在另一问题上的方法证明了N=4方程无自然数解,又进而巧妙地证明了N=3的情形。欧拉之后到十九世纪初都毫无实质性进展,一直到女数学家索菲-杰曼的出现。

索菲生1776年殷实的商人之家。十三年后她开始陶醉在数学之中的那一年,也是法国大革命爆发的开始。在那个时代,妇女是男人的附庸。一本流行的小册子叫“介绍给妇女看的牛顿理论”,就是让上流社会的妇人们在男士大侃特侃时不至于显得太蠢。

索菲她对数学感兴趣的原因呢,是阿基米得的故事。阿基米得如此投入,罗马士兵的吆喝声都没听见,以致为此失去了性命。可见他所专注的一定是世界上最引人入胜的学问。从此索菲每天研读数论和微积分到深夜。她的父母对此非常震惊和反对,毕竟女子不可能受严格的科学教育,也不能成为专职学者。他们把她的蜡烛没收,夜间停止暖气,想让她早点入睡。可是索菲就在柜子里藏了备用蜡烛,晚上裹几层睡衣来对付。相持了一阵父母终于拗不过女儿。在她后来的一生中,她的父亲一直在经济上赞助支持她。

索菲进的是巴黎综合理工学院。哈哈,她用的是“勒不朗克先生”的身份;勒不朗克是院里退学的学生,可是学院没察觉。一直等到她的老师拉格朗日(就是变分法的发明者)注意到勒不朗克交的作业清晰明了,显露出天才气息,于是要求和他单独见面。索菲这才不得已道出了花木兰的真情。拉格朗日没有生气,反而惊喜于这位年轻女性的才华和坚韧。拉格朗日就这样成为了索菲的导师和朋友。

索菲花了几年时间研究费尔马大定理。她研究了N等于一系列素数的情形,证明方程“几乎”无解。源于她的创新方法,狄立希来和勒让得分别独立地证明了N=5的情形。

索菲和德国“数学王子”高斯的交往,展示出她动人的少女情怀。她研究的成果多寄给当时最杰出的数学家高斯。她开始和高斯通信的时候仍然自称勒不朗克先生。若不是拿破仑进攻德国,也许人们记得的永远是勒不朗克的天才贡献。在索菲的朋友中,有一位率军攻打普鲁士和德国的帕尼提将军。索菲担心阿基米得的厄运会降临到数学王子头上,因此特意叮嘱他保证哥廷根大学的高斯的安全。后来帕尼提将军见到高斯,告知索菲女士的关爱。就这样,高斯才重新认识了索菲。他给索菲的长信里写道:“我无法用言语表达心中的惊讶和景仰。多么难以相信尊敬的勒不朗克先生竟然是这样一位杰出的女性!…”

4. Taniyama-Shimura Conjecture

又是一百年过去了。期间有法国科学院、德国哥廷根大学悬赏费尔马大定理的解决者,引来无数数学爱好者跃跃欲试,但一切像闹剧般无果而终。数学家们意识到那个貌似简单的论题可能要耗掉他们一生的宝贵时光而毫无进展。数学不像工程,每天辛勤工作就有收获。对于敢冲击世界难题的人,除了需要高超的技能、有效的工具、坚强的意志、超人的想像力和智慧,还要企盼命运之神的垂青。因此,费尔马大定理被严肃的学者们暂时搁置下来。

说说日本人谷山和志村的故事吧。他们生于1927和1928年,属于二战后的年青一代。战败的日本一片荒芜,学校里的老一辈学者意志消沉,年轻的日本学者多通过自学和互相学习来提升水平。谷山和志村就是这样一对好朋友。他们的性格却完全不同:谷山一年四季都穿着“有着奇怪的金属光泽的绿外套”,有着诗人式的高亢和不拘小节;志村呢却严谨勤奋,相片里的他西装领带一丝不苟,神情和蔼平静。志村非常崇拜谷山跳跃性的、超越逻辑的思维,他说:“谷山的每一次计算出错,都很稀奇地被证明是神佑般向前迈进一步。”

著名的谷山-志村猜想是他们俩在1955年提出的。那时候日本数学界和西方交流不够,谷山和志村他们还研究西方已经过时的“模形式”的理论;模形式是半平面上一类特殊的几何上非常对称的全纯复函数。另外呢,他们又花时间在代数数论里椭圆型方程的自然数解。也许正好是巧合,他们在一系列的计算里,发现每一个椭圆型方程都对应着一个模形式。由此他们猜测所有的椭圆型方程都有这种对应关系。在当时,椭圆型方程模形式和模形式是完全不相关的理论,他们的猜测如同在比较苹果和橘子,提出后被西方数学界所轻视。但在后来的十几二十年里,不断的特例被证实。渐渐地谷山-志村猜想成为主流课题。人们不仅相信这个猜测,而且意识到它给两个不同的数学分支带来的革命性的突破。大量的文章建立在假定谷山-志村猜想正确的基础上。谷山-志村猜想后来成为证明费尔马大定理的关键。

1958年志村在普林斯顿大学做访问学者。十一月的一天,噩耗传来,谷山在日本自杀。志村永远都不能理解这是为什么;就在九月份他还收到谷山的来信呢。谷山和一位叫美佐子的女孩相爱,订婚,准备年底结婚。爱情似乎不足以抵挡他对生活的厌倦。他在遗书中写道:“一直到昨天,我还没有确定要离开这个世界。但是最近以来我体力和精神上都疲惫不堪。我自己也不清楚结束自己生命的原因:没有具体事件。我对自己失去了自信…我不否认这是对爱我的人的背叛。原谅我,在我的生命中我一直独行独往,包括这最后一次。。。我的遗物留给美佐子,假如她不为我离开她而生气。。。”

几周后,美佐子也自杀了。她留下了遗言: “谷山和我曾经发誓,不管遇到什么我们都不分离。现在他走了,我必须和他一起。”

5. Andrew Wiles

安德鲁-威尔士出生于1953年的英国剑桥,牛津大学的教授之家。十岁那年他在图书管里读到费尔马大定理,惊讶于这么易懂的问题竟然三百年无人问鼎。这个聪敏的孩子开始试图找出证法,在一切徒劳之后,他梦想着有一天能攻克它。等到安德鲁大学毕业开始做学术研究的时候,他已明白在这样的难题上投入精力和时间是很危险的。他在剑桥大学艾马尼尔学院里专攻椭圆型曲线。也许是命中注定,从椭圆型曲线,到谷山-志村猜想,到费尔马大定理,这一切天衣无缝地链合在一起。

1984年秋天在德国黑森林的一个小镇里,数论学者开了一个小型座谈会。有一个叫法雷的德国人,把费尔马方程做了一些小变动,把它和椭圆方程挂上钩。他指出假如谷山-志村猜想是正确的,那么这个椭圆方程所对应的模形式会“不可思议地奇怪”。会多么奇怪呢?会到不存在的地步么?如果是这样,跟据反证法,谷山-志村猜想一旦被证实,费尔马大定理也就被证实了。1986年,加州大学伯克利分校的肯尼-黎伯特证明了法雷的模形式确实是不存在的。年轻时的肯尼蓄着小胡子,双眼炯炯有神,是个性格开朗的领袖式的人物。在他眼里,研究数学只有在开放、互相刺激的环境里新思维才会蓬勃发展。虽然他在谷山-志村猜想和费尔马大定理之间搭架了一座桥梁,他对三十年悬而未决的谷山-志村猜想的前景并不乐观。

但是肯尼的工作对安德鲁却是如同一道电闪雷鸣。儿时的梦想忽然变得触手可及。只要能证明谷山-志村猜想!和肯尼相反,内向的安德鲁悄悄地做了个决定:他将秘密地独自一人完成这项世人看来十分艰难的任务。他不愿意招来不必要的外界注意。除了必须的教学和讨论班,他不再参加其他会议和活动。他把精力都放在了谷山-志村猜想上。世界上唯一知道他在钻研费尔马大定理的是他的妻子娜达–他是在蜜月的时候对她吐露的。学微生物的娜达也许并不了解安德鲁这样的数论学者对费尔马大定理的深厚情怀。从此安德鲁深居简出,在旁人眼里,他似乎已经淡出了前沿研究。毕竟他已过三十,数学是年轻人的游戏,“江郎才尽”是常有的事。

他开始了事实上的隐士生活。一张纸,一只笔,和苦思冥想的大脑,就是他每天的一切。对于他的研究生活,他这样描述:“就像踏入一个黑暗的大楼。第一个房间是那么黑,你被家具磕磕绊绊。慢慢地我摸清了每一个家具的位置,然后大约在六个月以后,我终于找到电灯开关,一下子照亮了整个房间。接下来你到下一个房间,在黑暗中再呆上六个月。这样,每一次突破,也许只是一两天的事,它们若没有之前的六个月的摸索,根本不可能发生。”

安德鲁花了三年的时间确定了他解决谷山-志村猜想的基本方法–数学归纳法,以及归纳法中的头一步,证明一系列的椭圆方程都对应于某种模形式。下一步是归纳推理。但到了1990-1991年,他完全陷入了困境。他四处碰壁。多年的独自沉思令他疲惫不堪。“只有和孩子们在一起我才感到放松”,他说。“他们可不管什么费尔马大定理。他们缠着你讲故事,不讲就不放你走。”

在长期与世隔绝后,束手无策的他开车到波士顿听听同行的最新研究工作。黑暗无边的时刻,曙光出现了。他读到一篇似乎专为他而写的法拉赫的文章。在接下来的两三年里,他放弃了一直在努力的岩泽理论,致力于推广、完备和应用柯里亚金-法拉赫理论。终于在1993年五月的一天,他对妻子说:我解决了费尔马大定理。

光荣的一刻来临了。安德鲁决定在六月剑桥大学的学会上公布他的研究成果,他的讲座分成3天下午:21号,22号,和23号。这个名为“模形式,椭圆曲线,和迦罗华表示论”的讲座,暗示了与谷山-志村猜想的关联,但并没有高调挑明他的重大发现。到了第二个讲座结束,数学界已经疯传安德鲁将证明谷山-志村猜想了。23号他的讲座被称为“世纪之讲座”,牛津和剑桥大学数学界的同行挤满了教室。这是激动人心的一刻,每个人脸上都带着诡密的微笑,为能亲眼目睹这历史性的时刻而兴奋。安德鲁的演讲精彩有力,游刃有余。他的最后一句话是“我想我可以结束了”(I think I’ll stop here),说罢他笑容满面,灿烂如孩童。此刻掌声雷动。牛顿大学学院主任砰地一声开香槟酒庆祝。

安德鲁-威尔士教授解决费尔马大定理的消息登在第二天世界各大报纸的头条。腼腆的安德鲁一夜间成为名人,是《时代》周刊年底列出的“世界上最耐人寻味的人”之一。

沉浸在幸福中的安德鲁并没有想到,接下来的两年里是他生命里最磨难的两年。他寄给《Inventiones Mathematicae》的200页的手稿共有6个章节,由6名专家审阅。在专家们没有完成之前手稿不对外公开,以免对作者造成不必要的干扰。安德鲁对评审程序充满信心;他是个细心的人,在出稿之前他已经检查不止一遍了。对于评审员的一些疑问,安德鲁都很快就给出诠释。但是,审阅第三章的卡兹教授提出的貌似无害的疑问却使他卡住了。

安德鲁痛苦地发现,他在推广柯里亚金-法拉赫理论时犯了一个极微妙、不易察觉的错误。现在的最好结局是在数学界觉察到有漏洞之前尽快补救。他的手稿只在几个专家手上,他们会为他暂时沉默。娜达看到亲爱的丈夫辛勤工作了七年之后,竟陷入这样的危机,不禁非常心疼。十月份过去了。十一月份过去了。安德鲁和时间赛跑,但是收效甚微。世纪讲座过去半年了,他的手稿仍没有公开,数学界已经广泛对他的证明产生怀疑。十二月四号,安德鲁终于公开承认他的证明有漏洞,但在他同时表示他能够最后补正。对此许多数学家持悲观态度。因为早在1988年,日本人宮岡曾用不同途径“证明”过费尔马大定理,后来发现他的错误无法逾越。

接下来的一年多对安德鲁像是噩梦。“在开始的七年里我享受那种秘密独守的快感”,他说。“不管这问题有多难,这曾是我童年的梦想,我一刻也离不开它。当我宣讲我的研究结果时,我的感情是复杂的。一方面我感到成功的喜悦,另一方面我觉得我的一部分已经不再属于我了。然后又是这样的挫折。有几十,几百,甚至几千人有意无意地打扰我。在这种众目睽睽之下做学问,实在不是我所希冀的。我非常非常地不喜欢。”

到了1994年夏季,安德鲁几近绝望。即使他没有证明费尔马大定理,他在研究谷山-志村猜想中所提出的精彩想法和成果仍然是一流的工作。但就这样承认失败,接受羞辱?安德鲁在失望中,重新回头审视自己的失败。这时候,命运之神再一次对他微笑了。“九月十九号星期一的早晨,我坐在书桌旁细细检查柯里亚金-法拉赫理论。我并不希望它能有效;只是想搞清它为什么不行。突然间,我意识到,原先放弃的岩泽理论,和柯里亚金-法拉赫理论在一起,恰恰足以证明谷山-志村猜想。我记了下来。这一切实在是不可思议地美丽,它是那么简单而雅致。我盯着它整整二十分钟,无法相信自己一直忽略了它。那一天,我过一阵就到数学系走廊上走走,再回到办公室看看它是不是还在那里。它还在。我简直没法控制自己,我太激动了。在我的生命中这是最重要的时刻了。我做的任何事情,不管过去还是将来,都没有这一刻对我意义重大。”

他的手稿最后发表于1995年。安德鲁实现了他的少年梦想。自此,挑战人类智慧三个半世纪的巨兽终于被彻底征服。

(华夏文摘)